Banach-tér
A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma. Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér.
A pontos definíció tehát a következő:
A vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle összefüggéssel származtatott távolságra nézve a tér teljes, vagyis a térben minden Cauchy-sorozat konvergens.
Metrikus tereknél a teljesség a metrika tulajdonsága, nem pedig magáé a topologikus téré. Ekvivalens metrikára (ami ugyanazt a topológiát generálja) áttérve a teljesség elveszhet. Azonban ekvivalens normákkal ez nem történhet meg; azaz, ha az egy norma által indukált metrikában teljes a tér, akkor a vele ekvivalens normák által indukált metrikákban is teljes. A normált terek esetén a teljesség a norma által indukált topológia tulajdonsága, ami független a konkrét normától.
Elnevezés[szerkesztés]
A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta.[1] 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az terek absztrahálásából született fogalom.
Példák[szerkesztés]
1. Az ( ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.
2. Az adott intervallumon folytonos függvények tere Banach-tér a szuprémum normával.
3. Az adott intervallumon korlátos változású függvények tere Banach-tér.
4. Az -dimenziós euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.
5. A komplex számokból képzett -dimenziós vektorok Cn tere is Banach-teret alkot.
Néhány fontos tulajdonság[szerkesztés]
A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.
Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).
Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).
Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.
Egy normált tér pontosan akkor Banach-tér, ha minden abszolút konvergens sorozat konvergens.
Minden normált tér teljessé tehető, így egy Banach-teret kapunk, ami a normált teret sűrű altérként tartalmazza.
Ha egy két normált tér közötti lineáris leképezés izomorfizmus, akkor, ha teljes, akkor is teljes.
Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. Megfordítva, ha egy Banach-tér bázisa legfeljebb megszámlálható végtelen, akkor az véges dimenziós. Ez utóbbi a teljes metrikus terekre vonatkozó Baire-tételből következik.
Ha zárt altere az Banach-térnek, akkor szintén Bach-tér. Az faktortér is Banach-tér az normával.
A Banach-terek első izomorfiatétele: Ha egy két Banach-tér közötti korlátos lineáris leképezés képe zárt, akkor . Itt a topologikus izomorfia fogalmáról van szó, vagyis létezik egy bijektív lineáris leképezés, ami leképezi az teret a térre, hogy és is folytonos.
Normált terek egy direkt összege pontosan akkor Banach-tér, ha az összeg minden tagja Banach-tér.
A Banach–Steinhaus-tétel szerint, ha Banach-térből normált térbe menő folytonos lineáris operátorok egy családja, akkor a pontonkénti korlátosságból következik az egyenletes korlátosság.
A nyílt leképezés tétele: Egy két Banach-tér közötti folytonos lineáris leképezés pontosan akkor szürjektív, ha nyílt. Ha bijektív és folytonos, akkor a inverz leképezés is folytonos. Ebből következik, hogy minden Banach-terek közötti bijektív korlátos lineáris operátor izomorfizmus.
A zárt grafikon tétele: Egy lineáris leképezés grafikonja pontosan akkor zárt az szorzattérben, ha a leképezés folytonos.
Banach–Alaoglu-tétel: Egy Banach-tér duális terében egy zárt egységgyolyó gyengén *-kompakt.
Minden szeparábilis Banach-térben létezik egy zárt altere -nek úgy, hogy .
Minden Banach-tér egyben Fréchet-tér.
Lineáris operátorok[szerkesztés]
Ha és normált terek ugyanazon valós vagy komplex test fölött, akkor az összes folytonos -lineáris leképezés halmazát jelöli.
Végtelen dimenziós terekben a lineáris leképezések nem feltétlenül folytonosak.
Ekkor egy -vektortér, melyen
norma. Ha Banach-tér, akkor is Banach-tér.
Ha Banach-tér, akkor Banach-algebra az identitásoperátorral, mint egységelemmel. A szorzás a kompozíció.
Duális tér[szerkesztés]
Ha normált tér a test fölött, akkor szintén Banach-tér az abszolútértékkel, mint normával. Értelmezhető a topologikus duális tér, mint . Általában a algebrai duális tér valódi altere.
- Ha normált tér, akkor Banach-tér.
- Legyen normált tér; ekkor, ha szeparábilis, akkor is szeparábilis.
A topologikus duális tér használható arra, hogy topológiát definiáljunk az téren: a gyenge topológiát. A gyenge topológia nem ekvivalens az normája által indukált topológiájával, ha dimenziója végtelen. A normatopológiában való konvergenciából következik a gyenge topológiában való konvergencia, megfordítva azonban nem. Ebben az értelemben a gyenge topológiából adódó konvergenciafeltétel gyengébb.
Létezik egy természetes leképezés -ből -be, a biduális térre, úgy, mint: minden és esetén. A Hahn–Banach-tételből következik, hogy minden -beli -re az folytonos, ezért egy eleme. Az leképezés injektív és folytonos, sőt, izometrikus.
Reflexivitás[szerkesztés]
Ha a leképezés szürjektív is, így izometrikus izomorfizmus, akkor az normált tér reflexív.
Minden reflexív normált tér Banach-tér.
Egy Banach-tér pontosan akkor reflexív, ha reflexív. Ezzel az állítással ekvivalens, hogy egységgolyója a gyenge topológiában kompakt.
Ha reflexív normált tér, Banach-tér és létezik egy korlátos lineáris operátor -ből -ba, akkor reflexív.
Legyen reflexív normált tér; ekkor pontosan akkor szeparábilis, ha is szeparábilis.
James-tétel: Egy Banach-térre ekvivalensek:
- reflexív.
- , ahol , teljesül, hogy .
Jegyzetek[szerkesztés]
- ↑ A. Pietsch. History of Banach spaces and linear operators. Boston, Mass.: Birkhäuser (2007. június 2.)
Források[szerkesztés]
- Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
- Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
- Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8