A Lax–Friedrichs módszer, Peter Lax és Kurt O. Friedrichs nevükhöz fűződik, ez egy numerikus módszer, amely megoldása a hiperbólikus parciális differenciál egyenlet, ami a véges differenciálon alapúl. A módszert le lehet írni, mint FTCS program|FTCS (időfüggő,térben központú) mesterséges viszkozitású és 1/2 távolságú. A Lax–Friedrichs módszer egyik formája a Godunov sémának, ami megold egy Riemann problémát a mesterséges viszkozitással együtt.
Egy lineáris probléma ábrája[szerkesztés]
Adott egy egy dimmenziós,hiperbolikus lineáris parciális differenciál egyenlet minek jelölése
:
![{\displaystyle u_{t}+au_{x}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ec8abf6c9e8fa0c70b307ae019a754bfe8af05)
értelmezve a
![{\displaystyle b\leq x\leq c,\;0\leq t\leq d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd79e7be8ff25f342c667e265dfa0546a90977a)
és kezdeti feltétele
![{\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c252690fe1b958f3432335efe2bc322560ca384)
peremfeltételek
![{\displaystyle u(b,t)=u_{b}(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9176c428e739d23ac7388f867138a9b8a8b7d9de)
![{\displaystyle u(c,t)=u_{c}(t).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5dd164692276a5f6212bc587ea2171f7d2028f)
Ha az értelmezett tartomány
hogy a rácson elosztott pontok távolsága
és a
és idő szempontjából
és
közt , meghatározzuk
![{\displaystyle u_{i}^{n}=u(x_{i},t^{n}){\text{ with }}x_{i}=b+i\,\Delta x,\,t^{n}=n\,\Delta t{\text{ for }}i=0,\ldots ,N,\,n=0,\ldots ,M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8761f1cca894c3f893be6a49960cde76e1af86)
ahol
![{\displaystyle N={\frac {c-b}{\Delta x}},\,M={\frac {d}{\Delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0610d886810447e3d3d8b4583cb581dc69e62d)
a rács számát az egész számok halmazán értelmezzük. A Lax-Friedrichs módszer a problémák megoldását a következő parciális differenciálegyenlettel adja meg:
![{\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+v1}-{\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\,\Delta x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e9b5138fe8f625f41215de38d4b6a4be35e85b)
Vagy, megoldva a következő egyenletet
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-a{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b826d3dfe7c961e036798ad8d573ccc40a1140)
Ha a kezdeti értékek és a csomópontok a következők:
![{\displaystyle u_{i}^{0}=u_{0}(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1ef123b37b816395ea57453214944a3720cc98)
![{\displaystyle u_{0}^{n}=u_{b}(t^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc667797728641cf6355d90265885cc3cd59692e)
![{\displaystyle u_{N}^{n}=u_{c}(t^{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ee98a6653a743b75ff982712285e27895ab5c9)
Kiterjesztés nemlineáris problémákra[szerkesztés]
A nemlineáris hiperbolikus megmaradási törvény, a fluxus függvényében
:
![{\displaystyle u_{t}+(f(u))_{x}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5095f3da83af50e9e875ff89cc62505c7f0ffaec)
Abban az esetben
, akkor ez a lineáris probléma adott. Nem felejtve, hogy ,
egy vektor
az egyenletekben.
Álltalánosítva a Lax-Friederichs eljárás a nemlineáris rendszerekre a következő :[1]
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff3894cc69b8e456bac4e778e8dddf64766d410)
Stabilitás és pontosság[szerkesztés]
Ez egy explicit módszer és első közelítésben az időhöz másodikban a térhez, ami
eléggé sima lesz. Ilyen feltételek mellett a módszer a következő:
![{\displaystyle \left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a228d97cb59b0bfb436b26d6b3adbb9120fa1ddd)
- ↑ LeVeque, Randy J. Numerical Methods for Conservation Laws", Birkhauser Verlag, 1992, p. 125.