Hilbert-tér

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, amely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül. A Hilbert-tér egyben Banach-tér is, melynek normáját skalárszorzat indukálja.

Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges kardinális szám lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.

A Hilbert-tereken értelmezett skalárszorzat topologikus szerkezettel is ellátja a teret; ez lehetővé teszi a határértékek megközelítését, szemben az általános vektorterekkel.

Bevezetés

David Hilbert

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

Definíció

A H vektorteret a T test (valós vagy komplex számtest) feletti Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-féle alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.

Azaz létezik egy leképzés: $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon H\times H\to T$, amely minden $H$-beli $x$, $y$, $z$-re és minden $T$-beli $\lambda$-ra a következőket teljesíti:

1. $\langle {x},{x}\rangle \geq 0$ (nemnegatív);
2. $\langle {x},{x}\rangle =0\Leftrightarrow {x}={0}$ (definit);
3. $\langle {x},{y}\rangle ={\overline {\langle {y},{x}\rangle }}$ (hermitikus - valós esetben a konjugálás elhagyható);
4. $\langle {x},\lambda {y}\rangle =\lambda \langle {x},{y}\rangle$ és $\langle {x},{y}+{z}\rangle =\langle {x},{y}\rangle +\langle {x},{z}\rangle$ (lineáris a második argumentumban).

Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$.

H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.

Megjegyzések:

• Ebben a definícióban a skaláris szorzat a második argumentumban lineáris, az elsőben C-antilineáris, ez fordítva is működne, illetve használják is.
• Ha egy Hermite-féle alak értelmezve van a komplex vektortéren, akkor unitér térről beszélünk, valós esetben euklideszi vektortérről.
• Mivel minden Hilbert-tér unitér vagy euklideszi, érvényes benne a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, a polarizációs egyenlőség és a paralelogrammaazonosság, valamint a Bessel-egyenlőtlenség és a Pitagorasz-tétel.
• A 3. tulajdonságban a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, valós esetben a 3. tulajdonság a skaláris szorzat szimmetriája.
• Vegyük észre, hogy a norma definíciójában a gyök a norma homogenitása miatt szükséges.

Példák

• Az $\mathbb {R} ^{n}$ koordinátatér az $\langle u,v\rangle =u_{1}v_{1}+\dotsb +u_{n}v_{n}$ valós skalárszorzattal
• A $\mathbb {C} ^{n}$ koordinátatér az $\langle u,v\rangle ={\bar {u}}_{1}v_{1}+\dotsb +{\bar {u}}_{n}v_{n}$ skalárszorzattal
• A ${\mathbb {K} }^{m\times n}$ valós vagy komplex mátrixtér a Frobenius-skalárszorzattal
• A $H^{p}$ Szoboljev-tér minden $p\geq 0$ esetén. Ezek képezik a parciális differenciálegyenletek megoldáselméletének alapját.
• A Hilbert-Schmidt-operátorok $HS$ tere.
• A $H^{2}(\mathbb {D} )$ Hardy-tér és a ${\mathcal {H}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ valós Hardy-tér.
• Az $\ell ^{2}$ sorozattér, melyet azok a sorozatok alkotnak, ahol a sorozat elemeinek négyzetösszege véges. David Hilbert ezt a teret vizsgálta. Fontossága abban áll, hogy minden szeparábilis végtelen dimenziós Hilbert-tér izometrikusan izomorf $\ell ^{2}$-tel.
• A négyzetesen integrálható függvények $L^{2}$ tere az $\textstyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int {\overline {f(x)}}\,g(x)\,{\rm {d}}x$ skalárszorzattal.
• A majdnemperiodikus függvények $\mathrm {AP} ^{2}$ tere, ami a következőképpen definiálható: Legyen $\lambda \in \mathbb {R}$, ehhez tekintjük azokat az $f_{\lambda }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ függvényeket, ahol $f_{\lambda }\left(t\right)=e^{i\lambda t}$. Ellátjuk az $\operatorname {lin} \left\{f_{\lambda }\colon \lambda \in \mathbb {R} \right\}$ teret az $\textstyle \langle f,g\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\tfrac {1}{4T}}\int _{-T}^{T}{\overline {f(t)}}\,g(t)\,{\rm {d}}t$ skalárszorzattal, így prehilbertteret kapunk. Ezt a teret teljessé téve jutunk az $\mathrm {AP} ^{2}$ Hilbert-térhez, ami nem szeparábilis.

Ortogonalitás

Két vektort $x,y\in H$ ortogonálisnak mondunk, ha $\langle {x},{y}\rangle =0$, gyakori jelölés: $x\perp y$.

Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha $S\subset H$, és $\forall x,y\in S,x\neq y:\langle {x},{y}\rangle =0$. Ha egy ortogonális rendszer nem bővíthető (maximális), akkor ortogonális bázis. Az ortogonális bázisok lineáris burka sűrű a Hilbert-térben. A lineáris algebrában megszokott értelemben ezek csak véges dimenziós esetben bázisok.

Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha $S\subset H$, és $\forall x_{i},x_{j}\in S:\langle {x_{i}},{x_{j}}\rangle =\delta _{ij}$, ahol $\delta _{ij}$ a Kronecker-delta. A Zorn-lemmával belátható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Egy véges $S=\{x_{n}|n=1,2,...,N\}$ ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel-egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:

Pitagorasz:

$||x||^{2}=\sum _{n=1}^{N}|\langle {x_{n}},{x}\rangle |^{2}+||x-\sum _{n=1}^{N}\langle {x_{n}},{x}\rangle x_{n}||$

Bessel:

$||x||^{2}\geq \sum _{n=1}^{N}|\langle {x_{n}},{x}\rangle |^{2}$

Bázis

Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz $B\subset H$ egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely $x\in H$-val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.

A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és $B=\{x_{i}\in H:i\in I\}$ egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:

$y=\sum _{i\in I}\langle {x_{i}},{y}\rangle x_{i}$, ahol $\langle {x_{i}},{y}\rangle$ csak megszámlálható sok $i\in I$-re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:

$||y||^{2}=\sum _{i\in I}|\langle {x_{i}},{y}\rangle |^{2}$ (Parseval tétel).

Ortonormált bázisokkal a Hilbert-terek teljesen osztályozhatók. Minden Hilbert-térben van ortonormált bázis, és egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása megegyezik. Egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása tehát jóldefiniált. Ezt nevezzük a tér Hilbert-dimenziójának, röviden dimenziójának. Ugyanazon test fölötti megegyező dimenziójú Hilbert-terek izomorfak, ugyanis a két bázis elemről elemre megfeleltethető egymásnak, és ez a megfeleltetés folytonosan kiterjeszthető az egész térre.

Alterek

Egy Hilbert-altér egy Hilbert-tér olyan részhalmaza, ami a Hilbert-térben értelmezett vektorösszeadás, skalárral szorzás és skalárszorzás leszűkítésére szintén Hilbert-tér. Ez azt is jelenti, hogy altere, mint vektortérnek, hiszen ezek a kikötések feltételezik a nullvektor tartalmazását, és zárt a vektorösszeadásra és a skalárral szorzásra. Emellett még a skalárszorzásra is teljesnek kell lennie; ez ekvivalens azzal, hogy topológiai értelemben zárt. Emiatt a Hilbert-altereket zárt alterekként is emlegetik, szemben az egyszerűen csak altérként említett vektorterekkel. Általában ezek az alterek skalárszorzatos vektorterek, melyek sűrűek egy Hilbert-térben, ami lezárással kapható. Lehetséges Hilbert-alterekre hányadosteret képezni, ekkor szintén Hilbert-térhez jutunk.

Ez hasonló a Banach-terek esetéhez, melyek vektortéri értelemben vett alterei normált terek. Egy fontos különbség a projekciós tétel: Adva legyen egy Hilbert-tér, amiben kiválasztunk egy elemet, és egy Hilbert-alteret. Ekkor a Hilbert-altérben egyértelműen van egy vektor, melynek az adott vektortól mért távolsága minimális. Banach-terekben ez általában már véges dimenzióban sem igaz. Ez lehetővé teszi Hilbert-altér hányadosterének kanonikus azonosítását egy Hilbert-altérrel, ez az ortogonális komplementer; és az ortogonális vetítés bevezetését is. Egy Hilbert-altér ortogonális komplementere egy komplementer Hilbert-altér; azonban Banach-alterekhez általában nincs komplementer altér.

Definíció: Legyen $S\subset H$, ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:

$S^{\bot }:=\{x\in H|\langle {x},{y}\rangle =0\quad \forall y\in S\}$.

Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor $H=M\oplus M^{\bot }$

Konjugált Hilbert-tér

Komplex Hilbert-terek esetén a skalárszorzás nem szimmetrikus; lineáris a második argumentumban, és szemilineáris az elsőben. Azonban definiálható a konjugált Hilbert-tér, a következőképpen: Legyen $H$ Hilbert-tér, és legyen a ${\overline {H}}$ értelmezve ugyanazon az alaphalmazon, és legyen a vektorok összeadása is ugyanaz, mint $H$-ban. A többi művelet:

• Skalárral szorzás: $\lambda \cdot _{\overline {H}}u:={\overline {\lambda }}u$
• Skalárszorzás: $\langle u,v\rangle _{\overline {H}}:={\overline {\langle u,v\rangle }}=\langle v,u\rangle$.

Ezekkel a műveletekkel ${\overline {H}}$ szintén Hilbert-tér, $H$ konjugált Hilbert-tere. A konjugált Hilbert-tér konjugált Hilbert-tere, az eredeti Hilbert-tér.

Hilbert-terek közötti leképezések

A funkcionálanalízisben vizsgálnak olyan terek közötti leképezéseket is, amelyek megtartják a terek struktúráját. Ezek a leképezések megtartják a vektortér struktúrát is, azaz lineáris leképezések, melyeket a funkcionálanalízisben lineáris operátoroknak neveznek.

A Hilbert-terek közötti lineáris operátorok fontos osztálya a folytonos lineáris operátoroké. Ezek megtartják a topologikus struktúrát, így a konvergenciát is. További fontos tulajdonságok valamilyen értelmű korlátosságot feltételeznek. A korlátosság ekvivalens a folytonossággal; így sokszor egyszerűen csak folytonos operátorokként emlegetik őket. A kompaktság egy erősebb követelmény. A Schatten-Neumann-osztályok a kompakt operátorok osztályának valódi alosztályai. Az operátorok osztályain szintén definiálnak normákat és operátortopológiákat.

Az unitér operátorok a Hilbert-terek természetes izomorfizmus fogalmát definiálják, mivel ezek éppen az izomorfizmusok a Hilbert-terek kategóriájában, a skalárszorzattartó lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Ezek konkrétan a lineáris szürjektív izometriák, a szögek és hosszak megőrzésével.

A folytonos lineáris operátorokat meghatározza, hogy egy ortonormált bázist mire képez le. Valójában minden kardinális számhoz létezik valós és komplex Hilbert-tér is, melynek a dimenziója megegyezik az adott kardinális számmal, például az $\ell ^{2}(I)$ tér, ahol az $I$ indexhalmaz kardinális száma az adott kardinális szám:

$\ell ^{2}(I):=\left\{u\colon I\to K\mid \sum _{i\in I}\left|u(i)\right|^{2}<\infty \right\}$,

ahol $K=\mathbb {R}$ vagy $K=\mathbb {C}$, és a konvergencia érdekében előírjuk, hogy csak megszámlálható sok tag különbözik a nullától (lásd feltétlen kovergencia). Ezt a teret ellátjuk az

$\langle u,v\rangle :=\sum _{i\in I}{\overline {u(i)}}v(i)$,

skalárszorzattal. Az $\ell ^{2}(I)$ tér egy ortonormált bázisát alkotják az $u_{i}$ vektorok, ahol $u_{i}(j)=\delta _{ij}$. A Riesz-Fischer-tétel azt mondja ki, hogy minden Hilbert-tér izomorf egy ilyen térrel.

Riesz reprezentációs tétel

Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz

$H^{*}:=\{T:H\rightarrow \mathbb {C} \quad |\quad T\quad {\mbox{lineáris és folytonos}}\}$

a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy $T:H\rightarrow \mathbb {C}$ lineáris függvényre igaz:

$T\quad {\mbox{folytonos}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad ||T||<\infty$

$||T||:=\sup\{{\frac {|Tx|}{||x||}}\ |\quad x\neq 0,\quad x\in H\}$

Tétel (Riesz reprezentáció): Minden $T\in H^{*}$-hez létezik pontosan egy $y_{T}\in H$, úgy hogy $T(x)=\langle {y_{T}},{x}\rangle$ minden x-re H-ban, és
$||y_{T}||=||T||$.

Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől. Komplex esetben a tétel hasonlóan működik, azzal a különbséggel, hogy a leképezés szemilineáris, tehát az operátor is szemilineáris. Mindkét esetben a Hilbert-tér izomorf a duális terével (egy szemiunitér $H\to H^{\prime }$ operátor felbontható egy $H\to H^{\prime }$ unitér és egy $H^{\prime }\to H^{\prime }$ szemiunitér operátorra), így a Hilbert-tér izomorf a biduális terével, tehát a Hilbert-terek reflexívek.

Ezen tétel felhasználásával vezetik be a fizikusok a bra-ket írásmódot, mely a Hilbert-tér elemeit $|x\rangle$ módon jelöli, és ket-vektoroknak nevezi őket, a duálvektorokat pedig $\langle x|$ módon, melyeket bra-vektoroknak nevez. Két vektor skaláris szorzata, pedig a duálvektor hattatása a vektorra: $\langle y|(|x\rangle )=\langle {y}|{x}\rangle =\langle {y},{x}\rangle$, azaz a duálvektort a vektor mellé írjuk, így a bra és a ket vektor képzi nyelvi humorral a bracket-et, azaz a skaláris szorzat jelölésére használt zárójelet.

A tételből következik, hogy egy $X$-ből $Y$-ba menő lineáris operátor adjungált operátora értelmezhető, mint egy $Y$-ból $X$-be menő lineáris operátor. Így egy operátor felcserélhető adjungált operátorával; az efféle operátorok alkotják a normális operátorok osztályát. Egy Hilbert-tér operátorainál fennáll annak a lehetősége, hogy egy operátor adjungált operátora önmaga. Ezek az önadjungált operátorok.

Egy Hilbert-téren több fent bevezetett operátorosztály operátoralgebrát alkot. Az adjungálással, mint involúcióval és egy megfelelő normával involutív Banach-algebrákat alkotnak. Egy Hilbert-tér folytonos lineáris operátorai az adjungálással és az operátornormával C*-algebrát alkot.

Fourier-együttható

Az ortonormált bázisok hasznosak a Hilbert-terek és elemeik vizsgálatára mind valós, mind komplex test fölött. Például az elemek ábrázolása meghatározható ortonormált bázisban. Legyen $B=(b_{1},b_{2},\dots )$ ortonormált bázis, és $v$ a Hilbert-tér egy vektora. Mivel $B$ ortonormált bázis, azért vannak $\alpha _{k}\in \mathbb {R}$ illetve $\mathbb {C}$ együtthatók úgy, hogy

$v=\sum _{k}\alpha _{k}b_{k}$.

Ezek az együtthatók meghatározhatók az ortonormált bázis speciális tulajdonságainak felhasználásával

$\langle b_{n},v\rangle =\left\langle b_{n},\sum _{k}\alpha _{k}b_{k}\right\rangle =\sum _{k}\alpha _{k}\langle b_{n},b_{k}\rangle =\alpha _{n}$,

mivel a különböző bázisvektorok skalárszorzata nulla, és a bázisvektorok önmagukkal vett skalárszorzata 1. Egy vektor ábrázolásának $n$-edik együtthatója ortonormált bázisban meghatározható skalárszorzattal. Ezeket az együtthatókat Fourier-együtthatóknak is nevezzük, mivel a Fourier-analízis egy fogalmának általánosítását nyújtják.

RKHS

Ha egy Hilbert-teret egy maggal asszociálunk, melyet a térben minden függvény reprodukál, akkor Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS)-ről van szó, ami magyarra fordítva: reprodukáló mag Hilbert-tér. Ezt először Stanisław Zaremba matematikus formalizálta 1907-ben. Jelentősége fél évszázaddal később nőtt meg, amikor a funkcionálanalízisben fontos szerephez jutott. Ma a reprodukáló magos Hilbert-terek a statisztikai elméletek egy szokványos eszköze, különösen a gépi tanulásban.

Alkalmazások

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).
Minden L-2 tér egy Hilbert-tér.

Minden véges dimenziós belső szorzattal rendelkező tér (mint az Euklideszi-tér a szokásos skalárszorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

• Az unitér csoportreprezentációk elmélete
• A négyzetesen integrálható sztochasztikus folyamatok
• A parciális differenciálegyenletek Hilbert-tér elmélete, különösen a Dirichlet-probléma megfogalmazásai. Lásd még: a parciális differenciálegyenletek megoldáselmélete, amitől a Hilbert-terek a fizikában is nagy fontosságot nyernek
• A függvények spektrális analízise, beleértve a waveleteket

A kvantummechanika matematikai megfogalmazásai. Például a kvantummechanikában egy kvantummechanikai rendszer tiszta állapotai megadhatók Hilbert-térben egy vektorral. Egy kvantummechanikai rendszer állapotai egy lineáris struktúra elemei, vagyis állapotok lineáris kombinációja szintén állapot. Két állapot, $|\psi \rangle$ és $|\phi \rangle$ skalárszorzatának normájának négyzete azt adja meg, hogy ha egy mérés eredménye $|\psi \rangle$, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy a rendszer a $|\phi \rangle$ állapotban van. Ha a fizikában a Hilbert-térről beszélnek, akkor az adott kvantummechanikai rendszer állapotterét értik.

Például egy szabad részecske lehetséges hullámfüggvényei a $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {C}$ négyzetesen integrálható függvények $L^{2}$ terét alkotják a szokásos $L^{2}$-skalárszorzattal:

$\textstyle \langle \psi \,|\,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi ^{*}({\vec {x}})\,\phi ({\vec {x}})\,{\rm {d}}{\vec {x}}$.

Egy másik példa egy elektron lehetséges spin állapotai a $\mathbb {C} ^{2}$ teret feszítik ki, a szokásos komplex skalárszorzattal.

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez. A funkcionálanalízis szempontjából a Hilbert-terek speciális és egyszerű szerkezetű terek egy osztályát alkotják.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.

Megjegyzés

A német nyelvterületen több egyetemen is van Hilbert-térnek nevezett terem.

Ajánlott irodalom

• Reed-Simon, Methods of modern mathematical physics, 1. volume: Functional Analysis, Academic Press, INC.

Források

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band 1: Elementary Theory. Academic Press, New York NY 1983, ISBN 0-12-393301-3 (Pure and Applied Mathematics 100, 1), Kapitel 2: Basics of Hilbert Space and Linear Operators.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hilbertraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.