Szerkesztő:Rmilan907/próbalap

A Hamilton-operátor a kvantummechanikában a rendszer kanonikus változókkal (koordinátákkal és hozzájuk konjugált impulzusokkal) kifejezett energiájának az operátora.

A klasszikus mechanikai $H=H(p_{i},x_{i})$ Hamilton-függvényből egyszerűbb esetekben a $x_{i}\to {\hat {x_{i}}},\ p_{i}\to {\hat {p_{i}}}$ helyettesítéssel ("operátorosítás") kapjuk. Koordinátareprezentációban ${\hat {x}}_{i}=x_{i}$ és $\,{\hat {p_{i}}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$. Ahogy a klasszikus mechanikában, a Hamilton-operátor a kvantummechanikában is mozgási és potenciális energia összegeként írható fel: ${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}$.

Példák

Ebben a szakaszban a tömeget $m$ fogja jelölni, $\hbar$ pedig a redukált Planck-állandót.

Szabad részecskék

Egy szabad részecske Hamilton-operátora egy dimenzióban:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$,

magasabb dimenziókban pedig a Laplace-operátorral a következőképpen általánosítható:

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$.

Amennyiben több szabad ($m_{i}$ tömegű) részecske alkot egy rendszert, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, a rendszer Hamilton-operátora az egyes részecskék Hamilton-operátorainak összege:

${\hat {H}}=-\hbar ^{2}\sum _{i}{\frac {\Delta _{i}}{2m_{i}}}$.

Harmonikus oszcillátor

Harmonikus rezgőmozgás esetén a Hamilton-operátor a következő potenciális energiával bővül:

$V={\frac {k}{2}}|{\vec {x}}|^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}|{\vec {x}}|^{2}$,

ahol $\omega$ a körfrekvenciát, $k$ pedig a rugóállandót jelöli. Három dimenzióban a kvantizálást követően a Hamilton-operátor a következő alakot veszi fel:

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +{\frac {m\omega ^{2}}{2}}|{\hat {\vec {x}}}|^{2}$.

Az operátor linearitása miatt látható, hogy a harmonikus oszcillátor háromdimenziós problémáját egydimenziós problémákra lehet szétválasztani.

Egy dimenzióban a keltő- és eltüntető operátorokat definiálva:

${\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left({\hat {x}}+{\frac {i{\hat {p}}}{m\omega }}\right),\qquad {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left({\hat {x}}-{\frac {i{\hat {p}}}{m\omega }}\right)$,

a Hamilton-operátor a következő alakra hozható:

${\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)$,

ahol $n$ az úgy nevezett részecskeszám operátor.

Források

• L.D. Landau, E.M. Lifsic. Elméleti fizika III. – Kvantummechanika, Harmadik kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest. ISBN 963 17 3259 2 [1978] 
• J.J. Sakurai, J. Napolitano. Modern Quantum Mechanics, 2. kiadás, Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8291-4 [2011]